Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB$, $△ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a\sqrt{3},AC=a$. Gọi $H$ là trung điểm của $CB$ và $E$, $F$ lần lượt nằm trên cạnh $SA$, $SB$ sao cho $SE=SF$. Tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng $EF$ và $CH$ (đơn vị: độ).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SB$ và $SE=SF$, tam giác $SAB$ và $SEF$ đồng dạng, suy ra $EF\parallel AB$. Vậy góc giữa $EF$ và $CH$ bằng góc giữa $AB$ và $CH$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a\sqrt{3}$, $AC=a$, nên $BC=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$. Gọi $H$ là trung điểm $CB$ thì $CH$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó $CH=\frac{BC}{2}=a$.

Trong tam giác vuông $AHC$ (vuông tại $A$): $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}$. Tính $AH$: tam giác $ABH$ cân tại $H$ (vì $HA=HB=HC=a$), góc $\widehat{ABH}$ có $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, suy ra $\widehat{ABH}=30^{\circ }$ và $\widehat{BAH}=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$, tức góc giữa $AB$ và $AH$ (phía trong) là $60^{\circ }$... Cách trực tiếp hơn: góc giữa $AB$ và $CH$ bằng $\widehat{ABC}$ trừ đi góc lệch của $CH$ so với $CB$. Vì tam giác $CHB$ cân tại $H$ với $CH=HB=a$, $CB=2a$, tam giác $CHB$ đều, nên $\widehat{HCB}=60^{\circ }$. Mà $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, nên góc giữa $AB$ và $CH$ là $60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng $EF$ và $CH$ bằng $30^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn.