Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang với $AB//CD$ và $AB>CD$. Biết $AB=5a$, $CD=3a$. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho đường thẳng $CE$ song song với mặt phẳng $(SAD)$. Biết tỉ số $\frac{ES}{EB}=\frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản $(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Tính giá trị của biểu thức $2m+3n$.

Trong các khẳng định sau. Khẳng định nào đúng?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $AC$.
b) Đường thẳng $AP$ song song với mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
c) Mặt phẳng $(ANP)$ song song với mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.
d) Giả sử tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ với $AB=\sqrt{3}$. Gọi $E,E^{\prime }$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2},\frac{A^{\prime }{E}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Mặt phẳng qua $E{E}^{\prime }$ và song song với $BC$ cắt $MN,MP$ lần lượt tại $I,J$. Khi đó: $IJ=\frac{a\sqrt{6}}{b}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, và $a+b=17$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $AO$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $BD$; $SA$ và mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SC$ tại $N$. Giả sử SN=kNC thì k bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $SABC$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $\Delta ABC$. Các đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$, $SB$, $SC$, cắt mặt phẳng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{M{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{M{C}^{\prime }}{SC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ và $SB$. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Mặt phẳng nào sau đây song song với đường thẳng $MN$?