Cho hình chóp $SABC$, $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $\Delta ABC$. Các đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$, $SB$, $SC$, cắt mặt phẳng $(SBC)$, $(SAC)$, $(SAB)$ lần lượt tại $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{M{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{M{C}^{\prime }}{SC}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ là tọa độ đỉnh của $M$ theo tam giác $ABC$: $\overrightarrow{MA}=\beta \overrightarrow{BA}+\gamma \overrightarrow{CA}$, tức $M=\alpha A+\beta B+\gamma C$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$, $\alpha ,\beta ,\gamma >0$.

Đường qua $M$ song song $SA$: điểm chạy trên đường này có dạng $M+t(A-S)=(\alpha +t)A+\beta B+\gamma C-tS$ (trong hệ affine của tứ diện $SABC$). Điểm thuộc $(SBC)$ khi hệ số của $A$ bằng $0$, tức $t=-\alpha$, suy ra $M{A}^{\prime }=\alpha \cdot SA$. Tương tự $M{B}^{\prime }=\beta \cdot SB$, $M{C}^{\prime }=\gamma \cdot SC$.

Do đó $\frac{M{A}^{\prime }}{SA}\cdot \frac{M{B}^{\prime }}{SB}\cdot \frac{M{C}^{\prime }}{SC}=\alpha \beta \gamma$. Theo AM-GM với $\alpha +\beta +\gamma =1$: $\alpha \beta \gamma \le {\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$, dấu bằng khi $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$ (tức $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$).

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{1}{27}\approx 0,0370\approx 0,04$ (làm tròn đến hàng phần trăm).