Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=3MC$ và $N$ là trung điểm cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$, cắt $A^{\prime }M$ tại $E$, cắt $BN$ tại $F$. Tính tỉ số $\frac{V_{EABC}}{V_{F{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}$.

Cho khối chóp $ABCD$. Gọi $G$ và $E$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABD$ và $ABC$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định **đúng**?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=3$, $SB=4$, $SC=5$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ luôn đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và cắt các cạnh $SA$, $SB$, $SC$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=\frac{1}{S{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{S{B}^{\prime 2}}+\frac{1}{S{C}^{\prime 2}}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Lấy $M,N$ theo thứ tự lần lượt là trung điểm của $SC,OB$. Gọi $I$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(AMN)$. Khi đó tỉ số $\frac{SI}{SD}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $G$ là trọng tâm tam giác $SOD$. Một mặt phẳng $(P)$ qua $G$ và cắt các đường thẳng $SA,SC,SD$ theo thứ tự tại $I,J,K$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=13\frac{S{A}^2}{S{I}^2}+\frac{S{C}^2}{S{J}^2}+4\frac{S{D}^2}{S{K}^2}-12\frac{SA}{SI}$ bằng $\overline{ab}$ với $(a;b\in \mathbb{N})$. Tính $a+b$.

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Tứ diện $ABCD$, $O$ là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $BCD$. Từ $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AC,AD$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ tương ứng tại $M,N,P$. Biết $\frac{OM}{AB}=\frac{1}{3},\frac{ON}{AC}=\frac{1}{2}$ khi đó $\frac{OP}{AD}$ là