Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $1\text{ m}$ như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $x\text{ (m)}$, sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của $x$ để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là

Nhà thầy Hùng và chợ hải sản cách nhau $1\text{ km}$, khoảng cách từ nhà thầy Hùng đến bờ biển bằng $1\text{ km}$ còn khoảng cách từ chợ hải sản đến bờ biển bằng $400\text{ m}$ (bờ biển xem như $1$ đường thẳng). Mỗi buổi sáng thầy Hùng chạy thể dục từ nhà ra bờ biển, sau đó chạy dọc bờ biển $500\text{ m}$, rồi thầy chạy qua chợ hải sản để lấy thức ăn trong ngày, cuối cùng thầy chạy thẳng về nhà (tham khảo hình vẽ).
[IMAGE_1]
Tổng quãng đường ngắn nhất mà thầy Hùng chạy trong mỗi buổi sáng là bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $500$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(x\in \mathbb{Z},1\le x\le 100)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $R(x)=x^3-396x^2+80000\ln x+38800x+500$ (nghìn đồng). Trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+400+\frac{2500}{x}$ (nghìn đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn được bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Một doanh nghiệp thủy sản ở Móng Cái chuyên xuất khẩu hải sản sang Trung Quốc. Hai bên đã ký kết hợp đồng: mỗi tháng phía doanh nghiệp Việt Nam sẽ xuất khẩu $x$ tấn hải sản, với số lượng tối đa là $100$ tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn hải sản thì giá bán cho mỗi tấn hải sản là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để doanh nghiệp chế biến và xuất khẩu hải sản gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định, và $30$ triệu đồng chi phí biến đổi cho mỗi tấn hải sản. Hỏi doanh nghiệp có thể đạt được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng mỗi tháng từ hoạt động xuất khẩu này? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-t^3+15t^2$. Ta xem $f^{\prime }(t)$ là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?

Doanh số bán hệ thống âm thanh mới đưa ra thị trường trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $R(x)=\frac{5000e^x}{e^x+5},x\ge 0$, trong đó thời gian $x$ tính bằng năm. Khi đó, đạo hàm $R^{\prime }(x)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm thứ bao nhiêu?

Anh Thưởng dự định sử dụng hết $4{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?