Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $500$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(x\in \mathbb{Z},1\le x\le 100)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $R(x)=x^3-396x^2+80000\ln x+38800x+500$ (nghìn đồng). Trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+400+\frac{2500}{x}$ (nghìn đồng). Giả sử sản phẩm làm ra luôn được bán hết, lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Một doanh nghiệp thủy sản ở Móng Cái chuyên xuất khẩu hải sản sang Trung Quốc. Hai bên đã ký kết hợp đồng: mỗi tháng phía doanh nghiệp Việt Nam sẽ xuất khẩu $x$ tấn hải sản, với số lượng tối đa là $100$ tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn hải sản thì giá bán cho mỗi tấn hải sản là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để doanh nghiệp chế biến và xuất khẩu hải sản gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định, và $30$ triệu đồng chi phí biến đổi cho mỗi tấn hải sản. Hỏi doanh nghiệp có thể đạt được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng mỗi tháng từ hoạt động xuất khẩu này? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-t^3+15t^2$. Ta xem $f^{\prime }(t)$ là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?

Doanh số bán hệ thống âm thanh mới đưa ra thị trường trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $R(x)=\frac{5000e^x}{e^x+5},x\ge 0$, trong đó thời gian $x$ tính bằng năm. Khi đó, đạo hàm $R^{\prime }(x)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm thứ bao nhiêu?

Anh Thưởng dự định sử dụng hết $4{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

Ông Nam cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích $V=8{\text{ (m}}^3\text{)}$ dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp $\frac{4}{3}$ lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là $990.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng $\frac{2}{9}$ diện tích nắp bể. Chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?