Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+30x$ triệu đồng (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $30$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

Một công ty công nghệ X chuẩn bị phát hành một ứng dụng di động mới. Để quảng bá ứng dụng, công ty dự định chi $x$ (triệu đồng) cho chiến dịch quảng cáo trực tuyến. Bộ phận marketing của công ty sau khi phân tích thị trường, ước tính rằng tổng số lượt tải ứng dụng có thể đạt được tuân theo hàm số $N(x)=\frac{15000x}{x+300};x\ge 0$ (nghìn lượt). Với mỗi lượt tải ứng dụng (sau khi đã trừ các chi phí biến đổi trực tiếp liên quan đến mỗi lượt tải) công ty thu được số tiền là 2000 đồng. Công ty có một ngân sách tối đa cho việc quảng cáo ứng dụng lần này là 1,2 tỷ đồng. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được từ ứng dụng trên là bao nhiêu tỷ đồng?

Gọi y > x là các số thực sao cho 3 x + ln(e x + 1) = y + ln(e y − e x ). Xác định giá trị nhỏ nhất của P = e y − 7e x .

Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá $150$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ($x\in \mathbb{N};1\le x\le 150$) được cho bởi hàm số $C(x)=5000+800x-3,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng $x$ sản phẩm và được cho bởi công thức $p(x)=2000-9x$ (nghìn đồng). Biết rằng sản phẩm sản xuất ra được tiêu thụ hết. Lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng. Công ty nhận thấy nếu thuê $x$ nhân viên với chi phí là $750\text{ USD/tuaˆˋn}$ cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán được $q(x)=x^3-12x^2+60x$ hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7 nhân viên. Biết công ty nhận được $50\text{ USD}$ cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là $2500\text{ USD}$.

Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A,B$ thuộc $(P)$, $C,D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\text{ m}$ với vận tốc ban đầu là $24,5\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$. Sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?