Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A,B$ thuộc $(P)$, $C,D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2\text{ m}$ với vận tốc ban đầu là $24,5\text{ m/s}$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t)=2+24,5t-4,9t^2$. Sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Ông Nam cần xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật thể tích là $36{\text{ m}}^3$, không có nắp đậy để phục vụ cho việc tưới cây trong trang trại. Do các điều kiện về diện tích trang trại, đáy bể có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và chiều rộng không quá $4\text{ m}$, biết rằng chi phí vật liệu xây dựng mỗi mét vuông diện tích bề mặt là như nhau. Gọi $x\text{ (m)}$ là chiều rộng của bể, ta có $0<x\le 4$. Khi đó

Bác Phát muốn làm một chiếc thùng hình trụ, thân thùng được làm từ một mảnh tôn hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $90\text{ cm}$. Bác cắt ra một tấm tôn hình chữ nhật $MNPQ$ (với $M,N$ thuộc cạnh $BC$; $P,Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AC,AB$) rồi cuộn lại sao cho hai mép $MQ$ và $NP$ trùng khít nhau để tạo thành thân thùng hình trụ có chiều cao bằng $MQ$ (như hình vẽ).

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bác Phát có thể làm được bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong quy hoạch giao thông của một địa phương, phần đất liền ở hai bờ của một nhánh sông uốn cong được mô hình hóa bởi hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$, trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (hình vẽ), trong đó mỗi đơn vị trên các trục tọa độ tương ứng với $100\text{ m}$ trên thực địa.

Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là $(1;1)$. Người ta dự kiến xây dựng một cây cầu thẳng nối một điểm $A$ ở bờ bên này sang một điểm $B$ ở bờ đối diện sao cho chiều dài cây cầu ngắn nhất. Chiều dài của cây cầu đó bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một cửa hàng trung bình bán được $900$ cái máy lọc nước mỗi tháng với giá $8$ triệu đồng một cái. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $100$ nghìn đồng thì số lượng máy lọc nước bán ra tăng $10$ cái. Biết hàm chi phí là $C(x)=2000-\frac{9}{5}x$ (triệu đồng), với $x$ là số máy lọc nước bán ra trong tháng. Tìm lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng thu được (triệu đồng).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?