Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều. Biết $AB=5\sqrt{6}\text{ cm}$ và diện tích tam giác $A{B}^{\prime }C$ bằng $75{\text{ cm}}^2$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (đơn vị ${\text{cm}}^3$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).