Một cửa hàng trung bình bán được $900$ cái máy lọc nước mỗi tháng với giá $8$ triệu đồng một cái. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $100$ nghìn đồng thì số lượng máy lọc nước bán ra tăng $10$ cái. Biết hàm chi phí là $C(x)=2000-\frac{9}{5}x$ (triệu đồng), với $x$ là số máy lọc nước bán ra trong tháng. Tìm lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng thu được (triệu đồng).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một công ty sản xuất $x$ chiếc điều hòa trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ chiếc điều hòa được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi chiếc điều hòa là một hàm số phụ thuộc vào số lượng điều hòa $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Kết quả khảo sát thị trường cho thấy số điều hòa sản xuất ra đều được tiêu thụ hết. Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu chiếc điều hòa để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ (m}}^3\text{)}$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …). Hỏi với $200$ triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy $2000$ vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t)=2000+\frac{100t}{100+t^2}$ (con), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.