Một công ty sản xuất $x$ chiếc điều hòa trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ chiếc điều hòa được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi chiếc điều hòa là một hàm số phụ thuộc vào số lượng điều hòa $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Kết quả khảo sát thị trường cho thấy số điều hòa sản xuất ra đều được tiêu thụ hết. Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu chiếc điều hòa để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ (m}}^3\text{)}$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …). Hỏi với $200$ triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy $2000$ vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t)=2000+\frac{100t}{100+t^2}$ (con), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh $2\text{m}$. Từ tấm bìa này làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của hình vuông rồi gấp lên và ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình bằng $\frac{a\sqrt{2}}{b}\text{ (m)}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$; $a,b$ nguyên tố cùng nhau). Tính tổng $a^2+b^2$?

Một người thợ gò làm một cái hòm dạng hình hộp chữ nhật có nắp bằng tôn. Biết rằng độ dài đường chéo hình hộp bằng $3\sqrt{2}\text{ dm}$ và chỉ được sử dụng vừa đủ $18{\text{ dm}}^2$ tôn. Với yêu cầu như trên người thợ có thể làm được cái hòm có thể tích lớn nhất bằng

Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ bơi Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\text{ m}$, chiều rộng $15,5\text{ m}$ và bên cạnh đó có một hồ bán nguyệt đường kính $10\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ 1). Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp theo đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kì trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ 2).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là $2,4\text{ km/h}$, vận tốc đi bộ là $4,8\text{ km/h}$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).