Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ bơi Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\text{ m}$, chiều rộng $15,5\text{ m}$ và bên cạnh đó có một hồ bán nguyệt đường kính $10\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ 1). Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp theo đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kì trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ 2).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là $2,4\text{ km/h}$, vận tốc đi bộ là $4,8\text{ km/h}$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một tấm nhôm hình vuông cạnh $240\text{ cm}$. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.

Anh Tí muốn chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng $3\text{ km}$ (như hình vẽ). Tí có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến vị trí $C$ và sau đó chạy đến vị trí $B$, hay có thể chèo trực tiếp từ vị trí $A$ đến vị trí $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một vị trí $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ $6\text{ km/h}$, chạy với tốc độ $8\text{ km/h}$ và quãng đường $BC=8\text{ km}$. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh Tí. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tí đến $B$ là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $a=5$ mét và $b=2$ mét, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích $121{\text{ m}}^2$ người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là $x\text{ (m)}$. Giả sử chiều sâu của ao cũng là $x\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Thể tích $V$ lớn nhất của ao là

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V=12{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là $500$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, xây thành bể là $300$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x>0,h>0$, đơn vị: $\text{m}$).

Một Villa sinh thái nghỉ dưỡng thống kê được rằng: Nếu áp dụng mức giá $3$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $160$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $10$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng giảm đi $2$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng tăng thêm $2$ ngày.
Hỏi villa đó cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là $2$ triệu đồng và Sở văn hóa, thể thao và du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày.
(không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)