Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích $121{\text{ m}}^2$ người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là $x\text{ (m)}$. Giả sử chiều sâu của ao cũng là $x\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Thể tích $V$ lớn nhất của ao là

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V=12{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là $500$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, xây thành bể là $300$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x>0,h>0$, đơn vị: $\text{m}$).

Một Villa sinh thái nghỉ dưỡng thống kê được rằng: Nếu áp dụng mức giá $3$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $160$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $10$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng giảm đi $2$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng tăng thêm $2$ ngày.
Hỏi villa đó cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là $2$ triệu đồng và Sở văn hóa, thể thao và du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày.
(không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất một loại sản phẩm. Hàm tổng chi phí khi doanh nghiệp này sản xuất và bán $x$ sản phẩm là $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ (đơn vị: USD), $x\in \mathbb{N}$. Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)$ có tâm đối xứng là $I\left(-100;\frac{2000}{3}\right)$ và có đường tiệm cận xiên đi qua điểm $B(300;2000)$.
Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số $R(x)=0,1x^2+20x$ (đơn vị USD) và lợi nhuận thu về khi bán $200$ sản phẩm bằng $5250$ USD. Hỏi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì tổng chi phí là thấp nhất?

Ông B dự định sử dụng hết $7{\text{ m}}^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Gia đình anh Tuấn có mảnh đất, một phía giáp với đường (là một phần của đường thẳng), phần còn lại giáp với hồ nước là đường cong được mô hình hóa bởi một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{-x^2+5x-4}{x}$ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $10$ mét. Trong mảnh đất anh Tuấn muốn rào một khu vực hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A,B$ nằm trên đồ thị hàm số $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu ${\text{m}}^2$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và $p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi nhuận.