Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$ kéo đến điểm $N$ rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $29\text{ (m)}$.

Một bể cá cảnh có mô hình bên trong là hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AD=4\text{dm},AB=8\text{dm},A{A}^{\prime }=4\text{dm}$. Trong quá trình thay nước cho bể cá người ta rút bớt nước trong bể, phần nước còn lại khi nghiêng bể thì người ta thấy bề mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $CBHK$, trong đó $H,K$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime },D{D}^{\prime }$, (tham khảo hình vẽ 1). Sau khi bể nước được đặt trở lại vị trí thăng bằng thì mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $MNPQ$, toàn bộ khối được đặt trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ 2; gốc $O$ trùng với $A$, tia $Ox$ trùng với tia $AD$, tia $Oy$ trùng với tia $AB$, tia $Oz$ trùng với tia $A{A}^{\prime }$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $300\text{ m}$ về phía Nam và $100\text{ m}$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $100\text{ m}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $200\text{ m}$ về phía Bắc và $100\text{ m}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $50\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):y-2=0$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4-t\\ z=2\end{array}$ và hai điểm $A(-2;-6;22)$, $B(1;0;16)$. Hai điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA=2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(5\sqrt{3};8;15)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Câu 6. Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch vụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau: Toà nhà $A(0;0;0)$; toà nhà $B(6;0;0)$; toà nhà $C(3;\sqrt{3};2\sqrt{6})$. Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến $3$ toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x-y+2z-5=0$ và hai điểm $A(8;-3;3),B(11;-2;13)$. Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho $MN=6$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là