Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(5\sqrt{3};8;15)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Câu 6. Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch vụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau: Toà nhà $A(0;0;0)$; toà nhà $B(6;0;0)$; toà nhà $C(3;\sqrt{3};2\sqrt{6})$. Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến $3$ toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):3x-y+2z-5=0$ và hai điểm $A(8;-3;3),B(11;-2;13)$. Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho $MN=6$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp $M.ABCD$ có đỉnh $M$ thay đổi luôn nằm trên mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-6{)}^2=1$, đáy $ABCD$ là hình vuông có tâm $H(1;2;3),A(3;2;1)$. Thể tích lớn nhất của khối chóp bằng

Một thiết bị có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=9\text{ dm},AD=12\text{ dm},A{A}^{\prime }=11\text{ dm}$, bên trong thiết bị này có $2$ vách ngăn có độ dày không đáng kể, chúng lần lượt có khoảng cách đến mặt $ABCD$ là $6\text{ dm}$ và $9\text{ dm}$ (tham khảo hình vẽ bên). Người ta làm một đường ống giải nhiệt thiết bị, gồm $3$ đoạn ống thẳng nối tiếp nhau từ điểm $A$ đến điểm $C^{\prime }$. Do đặc thù của thiết bị, đoạn ống giữa $2$ vách ngăn phải vuông góc với $2$ vách ngăn. Độ dài nhỏ nhất của đường ống giải nhiệt thiết bị là bao nhiêu dm?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $AB=2a,BC=a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và cạnh $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$. Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $SB,SD$ sao cho $SB=2SE,SD=3SF$. Thể tích $V$ của khối tứ diện $AEFC$ là

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m}$, $B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi, khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu $\text{m}$? (làm tròn đến hàng phần trăm).