Một thiết bị có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=9\text{ dm},AD=12\text{ dm},A{A}^{\prime }=11\text{ dm}$, bên trong thiết bị này có $2$ vách ngăn có độ dày không đáng kể, chúng lần lượt có khoảng cách đến mặt $ABCD$ là $6\text{ dm}$ và $9\text{ dm}$ (tham khảo hình vẽ bên). Người ta làm một đường ống giải nhiệt thiết bị, gồm $3$ đoạn ống thẳng nối tiếp nhau từ điểm $A$ đến điểm $C^{\prime }$. Do đặc thù của thiết bị, đoạn ống giữa $2$ vách ngăn phải vuông góc với $2$ vách ngăn. Độ dài nhỏ nhất của đường ống giải nhiệt thiết bị là bao nhiêu dm?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $AB=2a,BC=a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và cạnh $SC$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$. Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm nằm trên cạnh $SB,SD$ sao cho $SB=2SE,SD=3SF$. Thể tích $V$ của khối tứ diện $AEFC$ là

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m}$, $B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến.

Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi, khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu $\text{m}$? (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty $S$ để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu đang bay ở độ cao $50\text{ km}$ và nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh $S$ có tọa độ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị km) như sau: Vệ tinh $A$ tại vị trí $A(103;204;62)$, vệ tinh $B$ tại vị trí $B(106;208;74)$, vệ tinh $C$ tại vị trí $C(105;212;134)$. Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí $M$ của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: $MA=13\text{ km}$, $MB=26\text{ km}$, $MC=85\text{ km}$. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến gốc tọa độ $O$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của km).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(4;5;12)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;4;2)$ và $B(1;1;4)$; điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng :

Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh $A$ của tháp thứ nhất đến đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ $A$ đến một điểm $P$ trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm $P$ dọc theo hướng Tây $40\text{ m}$ đến điểm $Q$ và sau đó drone bay thẳng từ $Q$ lên đỉnh $B$ của tháp thứ hai (Hình vẽ). Biết đỉnh $A$ cao $100\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $200\text{ m}$ về phía Đông và $100\text{ m}$ về phía Nam. Đỉnh $B$ cao $300\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $140\text{ m}$ về phía Tây và $200\text{ m}$ về phía Nam.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng Đông, trục $Oy$ hướng Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là $100\text{ m}$). Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm $P(a;b;c)$ trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức $S=2a+4b+c$.