Một Pikachu khám phá “mê cung kỳ lạ” trong mặt phẳng $Oxy$, xuất phát từ $O$ và bước đi vô hạn bước theo quy luật sau:
- Bước đầu tiên: Dài $8$ đơn vị theo tia $Ox$.
- Các bước sau: Luôn rẽ trái $90^{\circ }$ so với bước liền trước và dài bằng $\frac{3}{4}$ bước liền trước.
(tham khảo hình bên).

Biết rằng, với hành trình như trên thì Pikachu sẽ tiến đến điểm $M$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng bao nhiêu đơn vị?

Vào cuối năm 2022, báo Rossiyskaya Gazeta dẫn lời Bộ trưởng Tài nguyên Nga cảnh báo nước này sẽ cạn kiệt dầu mỏ sau 28 năm nữa nếu sản lượng khai thác hằng năm vẫn giữ như năm 2022. Bắt đầu từ năm 2023, nếu nước Nga mỗi năm giảm sản lượng khai thác $2\%$ so với năm trước thì sau bao nhiêu năm nữa nước này cạn kiệt dầu mỏ (chọn phương án có kết quả gần nhất với tính toán của bạn)?

Tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $3a$, diện tích $S_1$. Trên các cạnh $A_1{B}_1,B_1{C}_1,C_1{A}_1$ lần lượt lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ thỏa mãn $A_1{B}_1=3A_1{A}_2,B_1{C}_1=3B_1{B}_2,C_1{A}_1=3C_1{C}_2$ ta được tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như thế ta được tam giác thứ ba $A_3{B}_3{C}_3$ có diện tích $S_3$. Tương tự như thế, ta được diện tích $S_4,S_5,\dots$. Giá trị $S=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_{23}$ thuộc khoảng:

Câu 12. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $9\text{ m}$. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần trước rơi. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Câu 2. Xét tam giác $ABC$ có $AC=2AB$ và $BC=10\text{ cm}$. Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=\frac{1}{4}AC$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AE=\frac{1}{4}AB$, trên cạnh $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $AF=\frac{1}{4}AD$ và tiếp tục lấy các điểm $G,H,I,J\dots$ (vô hạn lần) theo quy luật đó. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau.

Câu 1. Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ ($i\in \{1;2;3;\dots \}$).



Đặt $T=S_1+S_2+S_3+\cdots +S_n+\dots$ Khi $T=\frac{32}{3}$, tính $a$?

Cho một hình vuông lớn có cạnh bằng 1. Từ hình vuông này, ta thực hiện quá trình tô màu như sau:
+ Bước 1: Tô màu tam giác vuông có 2 cạnh là cạnh của hình vuông ban đầu (như hình vẽ)
+ Bước 2: Ở tam giác vuông còn lại chưa được tô màu, ta dựng hình vuông mới có 3 trong 4 đỉnh là trung điểm của các cạnh của tam giác. Sau đó lặp lại như bước 1.
Bước 2 được lặp lại liên tục.



Tính tổng diện tích phần tô màu. (làm tròn đến hàng phần trăm)