Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;4;2)$ và $B(1;1;4)$; điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng :

Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh $A$ của tháp thứ nhất đến đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ $A$ đến một điểm $P$ trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm $P$ dọc theo hướng Tây $40\text{ m}$ đến điểm $Q$ và sau đó drone bay thẳng từ $Q$ lên đỉnh $B$ của tháp thứ hai (Hình vẽ). Biết đỉnh $A$ cao $100\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $200\text{ m}$ về phía Đông và $100\text{ m}$ về phía Nam. Đỉnh $B$ cao $300\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $140\text{ m}$ về phía Tây và $200\text{ m}$ về phía Nam.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng Đông, trục $Oy$ hướng Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là $100\text{ m}$). Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm $P(a;b;c)$ trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức $S=2a+4b+c$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 30 cm. Giả sử hai chú kiến vàng và đen xuất phát cùng một lúc tại các vị trí $A$ và $D$, kiến vàng đi thẳng từ $A$ đến $D^{\prime }$ với vận tốc 1 cm/s và kiến đen đi thẳng từ $D$ đến $B$ với vận tốc 2 cm/s. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu xuất phát, khoảng cách giữa hai con kiến là bé nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$ cho trước với mặt nước phẳng lặng trùng với mặt phẳng $(Oxy)$, đơn vị trên mỗi trục là mét; một chú chim bói cá đang đậu trên một cành cây ở vị trí $A(0;0;5)$ tiến hành bay xuống để thám thính ngang qua trên mặt hồ nước đến đậu trên một cành cây khác tại vị trí $B(4;0;4)$ theo quỹ đạo là một cung tròn hoàn hảo nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt nước đi qua điểm $M$ thỏa mãn $\widehat{AMB}=135^{\circ }$ (Điểm $M$ như hình vẽ bên).

Câu 4. Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông $ABCD$ với $AB=100\text{ (m)}$, $DC=60\text{ (m)}$ và $AD=40\text{ (m)}$. Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh $AB$ và một phần của đường cong $(\mathcal{H})$, biết rằng $(\mathcal{H})$ chứa các điểm $K$ sao cho tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ luôn bằng $600\sqrt{2}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh $AD,DC$ và đường cong Parabol $(P)$ có đỉnh $A$, biết rằng phần đất để xây nhà kho có diện tích $S=\frac{1600}{3}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6. Trong trận đấu giữa Thụy Điển và Anh tại giải vô địch bóng đá thế giới, khi thời gian trận đấu sắp kết thúc, Zlatan Ibrahimović đã thực hiện một cú xe đạp chổng ngược móc bóng từ khoảng cách xa vào lưới đội tuyển Anh. Đây được coi là một trong những bàn thắng đẹp nhất lịch sử bóng đá thế giới với khoảng cách xa nhất từng được ghi bằng kỹ thuật này. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho $(Oxy)$ trùng với mặt đất, tại thời điểm Ibra tung người móc bóng quả bóng thuộc tia $Oz$ và có độ cao $2\text{ m}$, bay theo quỹ đạo của một Parabol thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đất rơi xuống đất tại vị trí điểm $A$ nằm trong khung thành. Biết $d(A,Oy)=AH=8$ ($H\in Oy$) và $OH=15$. Sau khi bay lên không trung quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại điểm có hoành độ $x=3$. Tại thời điểm bóng bắt đầu bay vào khung thành (tức là bóng nằm trên vạch kẻ ngang của khung thành) thì độ cao của quả bóng so với mặt đất là bao nhiêu mét? Biết rằng khung thành $CDEF$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất và đi qua 2 điểm $M(4;15;-2)$, $N(8;14;6)$. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(0;4;5),B(-3;-1;3),C(-2;8;9),D(-7;2;-3)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả bốn vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,2\mathrm{ms},t_B=\frac{1}{3}\mathrm{ms},t_C=0,6\mathrm{ms},t_D=\frac{2}{3}\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).