Trong một cuộc giao lưu học sinh giỏi cấp tỉnh, ban tổ chức chọn $12$ em trong danh sách học sinh đạt giải mời lên phỏng vấn. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có sáu ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được một học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau biết rằng các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng.

Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xác suất để lấy được 2 viên bi khác màu bằng

Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm $5$ chữ số phân biệt từ $1$ đến $9$. Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.
ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.
Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng $a\cdot 10^{-3}$. Tính giá trị của $a$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Từ một hộp chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng; lấy ngẫu nhiên đồng thời 2
viên bi. Xác suất để lấy được 2 viên bi khác màu bằng
5 7 5 13

Cho tập $S=\{1;2;...;20\}$ gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 3 số khác nhau thuộc $S$. Xác suất để 3 số lấy ra lập thành cấp số cộng hoặc cấp số nhân là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính $b-a$.

Từ một hộp chứa 17 quả cầu được đánh số từ 1 đến 17. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu trong hộp. Tính xác suất để tổng các số trên hai quả cầu là một số chẵn.

Người ta muốn chia một tập hợp gồm 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A, 5 học sinh lớp 12B và 8 học sinh lớp 12C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Tính xác suất để mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B.