Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm $5$ chữ số phân biệt từ $1$ đến $9$. Một mật khẩu được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.
ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.
Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng $a\cdot 10^{-3}$. Tính giá trị của $a$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Theo bảng đáp án chính thức (trang 5, Mã đề 0101, câu 22) và hướng dẫn giải của Sở GD&ĐT Nghệ An (trang 16):
Số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega |=A_9^5=15120$.
Mỗi tập con $5$ chữ số thỏa mãn điều kiện không có $2$ chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau khi xếp tăng dần sẽ tạo ra đúng $2$ mật khẩu mạnh (tăng dần hoặc giảm dần).
Theo hướng dẫn giải của đề gốc (trang 16, xét $5$ chữ số chẵn và $4$ chữ số lẻ): số tập con $5$ chữ số thỏa mãn gồm $5$ tập (trường hợp $1$ chẵn, $4$ lẻ), $C_5^2{C}_4^3-4=36$ tập (trường hợp $2$ chẵn, $3$ lẻ) và $C_7^5=21$ tập (trường hợp $3$ chẵn, $2$ lẻ).
Khi đó $P=\frac{2(5+36+C_7^5)}{A_9^5}=\frac{124}{15120}\approx 8,2\cdot 10^{-3}\Rightarrow a\approx 8,2$.