Một hợp tác xã (viết tắt là HTX) nông nghiệp tại Nghệ An đầu tư dự án trồng dưa lưới nhà màng VietGAP. Xét trong một vụ canh tác, với diện tích $x$ (nghìn ${\text{m}}^2$, $x\ge 1$), tổng chi phí là $C(x)=x^2+30x+100$ (triệu đồng). Tổng doanh thu dự kiến là $R(x)=x^2+100x$ (triệu đồng).

Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường Việt Nam theo đơn giá $3$ triệu đồng/chiếc. Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số $C(x)=0,5x^3-75x^2+4350x+60000$ (nghìn đồng), trong đó $x$ là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày nhà máy có thể sản xuất tối đa $130$ xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết vào cuối ngày đó. Hỏi số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30$ nghìn đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30$ nghìn đồng mà cứ tăng giá thêm $1$ nghìn đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18$ nghìn đồng. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất (đơn vị tính là nghìn đồng).

Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính $10\text{ m}$. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến mảnh vườn. Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau tại $O$. Bờ $AB$ là một phần của parabol đỉnh $A$ có trục đối xứng trùng với đường thẳng chứa bờ $AE$. Khoảng cách từ bờ $AE$ và $BC$ đến tâm mảnh vườn lần lượt là $40\text{ m}$ và $30\text{ m}$. Khoảng cách $OA=40\text{ m}$, $OB=20\text{ m}$. Chiều dài ngắn nhất của cây cầu gần nhất với giá trị nào sau đây?


Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Câu 1. Một sợi dây kim loại dài $6\text{ (cm)}$. Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn có độ dài $x\text{ (cm)}$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $(0<x<6)$.

Câu 5. Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $A$ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $B$ qua một con sông rộng $2\text{ km}$, dài $6\text{ km}$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $P$ là $4$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $P$ đến kho chứa dầu tại vị trí $B$ là $8$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $P$ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).