Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Câu 1. Một sợi dây kim loại dài $6\text{ (cm)}$. Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn có độ dài $x\text{ (cm)}$ được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $(0<x<6)$.

Câu 5. Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí $A$ đến kho chứa dầu đặt ở vị trí $B$ qua một con sông rộng $2\text{ km}$, dài $6\text{ km}$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí $P$ là $4$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ $P$ đến kho chứa dầu tại vị trí $B$ là $8$ tỷ VNĐ/$1\text{ km}$ (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất, cần đặt vị trí $P$ cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Ông chủ của một ngôi nhà muốn làm một chiếc thang cứu hộ (coi như một đoạn thẳng) để sử dụng khi có nguy hiểm xảy ra. Khi chiếc thang được sử dụng thì một đầu của nó sẽ tiếp đất và một đầu còn lại sẽ đặt vào bức tường của ngôi nhà. Chiếc thang này được thiết kế để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào tựa vào ngôi nhà (tham khảo hình vẽ bên). Hàng rào cao $2,88$ mét được đặt song song và cách bức tường của ngôi nhà một khoảng bằng $1,8$ mét. Hỏi chiều dài ngắn nhất của chiếc thang bằng bao nhiêu mét (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Một cái ao nuôi cá hình chữ nhật của nhà ông An có chiều dài $20$m và chiều rộng $15$m, tại một góc nhỏ của ao ông An đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $1$m và cách bờ $AC$ là $8$m, rồi dùng một dây phao căng thẳng ngăn một góc nhỏ của ao để làm nơi cho cá ăn (phần in đậm như hình vẽ) sao cho dây phao có thể đồng thời chạm vào hai bờ $AB,AC$ và vào cái cọc $K$. Biết mỗi mét dây phao ông An cần mua có giá $130$ nghìn đồng. Hỏi ông An phải bỏ ra ít nhất bao nhiêu nghìn đồng để mua dây phao đó (bỏ qua đường kính của dây phao và cái cọc, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đúng $k$ lần ($1\le k\le 2$) là $t_k=\frac{N_k}{N}$ (trong đó $N_k$ là số công nhân vi phạm đúng $k$ lần, $N$ là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau: Nếu mỗi công nhân nộp phạt $x$ nghìn đồng ($60\le x\le 300$) khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt $x-20$ nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì $t_1=\frac{36}{x+10}$ và $t_2=\frac{4}{x-30}$ (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần). Biết rằng $N$ không đổi và bằng 2400. Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2. Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ (m}}^3\text{)}$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu,...). Hỏi với số tiền là $200$ triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?