Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $9a^3$. Các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3};\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{2}{3}$. Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABC.MNP$.

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AC=2AB=2a$. Hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và góc giữa các mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{AS}$ và $\overrightarrow{CN}=3\overrightarrow{AS}$. Tính thể tích của khối đa diện $ABCSMN$ theo $a$.

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng 2020. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD,ABD,ABC$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Thể tích khối chóp $A.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $2a$, gọi $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}^{\prime }$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}^{\prime }$ tại $N$. Thể tích khối đa diện $AMNPBCD$ bằng


Cho tứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $MC=2MB$; $N,P$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $AD$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AC$ và $(MNP)$. Thể tích khối đa diện $ABMNPQ$ bằng

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thể tích là $V$. Tính thể tích của tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ theo $V$.