Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $m$ để phương trình ${\log }_2(2x+m)={\log }_{\sqrt{2}}(x-1)$ có nghiệm duy nhất :

Phương trình tương đương $\{\begin{array}{l}x>1\\ 2x+m=(x-1{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>1\\ m=x^2-4x+1\end{array}$. Xét hàm số $f(x)=x^2-4x+1$ trên $(1;+\infty )$ có bảng biến thiên đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-3$ và $f(1)=-2$. Phương trình có nghiệm duy nhất khi $m=-3$ hoặc $m\ge -2$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-3;-2;-1\}$, có $3$ giá trị. Chọn đáp án D.