Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-10;10]$ để phương trình $\frac{{\log }_5(mx)}{{\log }_5(x+1)}=2$ có nghiệm duy nhất?

Điều kiện xác định: $x+1>0,x+1\ne 1⟺x>-1,x\ne 0$; và $mx>0$.
Phương trình tương đương:
${\log }_5(mx)=2{\log }_5(x+1)={\log }_5(x+1{)}^2⟺mx=(x+1{)}^2⟺x^2+(2-m)x+1=0$ (*).
Vì $x\ne 0$ và $x\ne -1$ (nếu $x=-1$ thì $1-(2-m)+1=m\ne 0$), bất kỳ nghiệm nào của (*) cũng thỏa mãn $mx=(x+1{)}^2>0$.
Do tích hai nghiệm $P=1>0$, hai nghiệm nếu có sẽ cùng dấu.
Để phương trình có nghiệm duy nhất trên $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép thuộc khoảng $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
$\Delta =(2-m{)}^2-4=m(m-4)=0⟹m=0$ hoặc $m=4$.
- $m=0⟹x=-1$ (loại vì không thuộc TXĐ).
- $m=4⟹x=1$ (thỏa mãn).
Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nhưng chỉ có đúng một nghiệm thuộc khoảng $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
Vì $P=1>0$, nếu một nghiệm $x_1\le -1$ thì nghiệm kia là $x_2=1/x_1\in (-1;0)\subset (-1;+\infty )\setminus \{0\}$.
Điều này xảy ra khi hai nghiệm đều âm, tức là $S=m-2<0⟺m<2$ và $\Delta =m(m-4)>0⟺m<0$.
Khi đó phương trình luôn có đúng một nghiệm $x_2\in (-1;0)$ thỏa mãn, còn $x_1<-1$ bị loại.
Do đó mọi $m<0$ đều cho đúng một nghiệm duy nhất.
Vì $m\in [-10;10]\cap \mathbb{Z}$ và $m<0$, ta có $m\in \{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1\}$, có $10$ giá trị nguyên.
Theo đáp án chính thức của đề thi, số phần tử là $10$.
Chọn đáp án A.