Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[0;2021]$ sao cho phương trình sau có nghiệm:
$${\ln }^3(x+m)+m^3+3m{e}^x\ln (x+m)=e^{3x}$$

Điều kiện: $x+m>0$.
Chia hai vế phương trình cho $e^{3x}>0$:
$${\left(\frac{\ln (x+m)}{e^x}\right)}^3+{\left(\frac{m}{e^x}\right)}^3+3\cdot \frac{m}{e^x}\cdot \frac{\ln (x+m)}{e^x}-1=0$$
Đặt $u=\frac{\ln (x+m)}{e^x},v=\frac{m}{e^x}\ge 0$.
Phương trình trở thành:
$$u^3+v^3+3uv-1=0\iff (u+v-1)(u^2-uv+v^2+u+v+1)=0$$
Vì $v\ge 0$ nên $u^2-uv+v^2+u+v+1>0$, do đó $u+v=1$.
$$\iff \frac{\ln (x+m)}{e^x}+\frac{m}{e^x}=1\iff \ln (x+m)+m=e^x\iff \ln (x+m)+(x+m)=e^x+x$$
Xét hàm số $f(t)=t+\ln t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$$x+m=e^x\iff m=e^x-x$$
Xét hàm số $g(x)=e^x-x$, ta có $g^{\prime }(x)=e^x-1=0\iff x=0$.
Bảng biến thiên cho thấy $\min g(x)=g(0)=1$.
Để phương trình có nghiệm thì $m\ge 1$.
Kết hợp điều kiện $m\in [0;2021]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{1;2;\dots ;2021\}$.
Vậy có $2021$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án D.