Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${\log }_{2023}(x+m)+{\log }_{\frac{1}{2023}}(x^2-x+2m)=0$ có đúng một nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của $S$.

Phương trình tương đương $\{\begin{array}{l}x+m>0\\ x^2-x+2m=x+m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-m\\ x^2-2x+m=0(1)\end{array}$.
- Nếu ${\Delta }^{\prime }=1-m=0\iff m=1$: $(1)$ có nghiệm $x=1>-1$ (thỏa mãn).
- Nếu $m<1$: $(1)$ có hai nghiệm $x_1<x_2$. Để có đúng $1$ nghiệm $x>-m$ thì $x_1\le -m<x_2$.
+ Với $x_1<-m<x_2\iff (-m{)}^2-2(-m)+m<0\iff m^2+3m<0\iff -3<m<0\Rightarrow m\in \{-2;-1\}$.
+ Với $m=0$: $(1)\iff x\in \{0;2\}$, điều kiện $x>0\Rightarrow x=2$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-3$: $(1)\iff x\in \{-1;3\}$, điều kiện $x>3$ (vô nghiệm).
Vậy $S=\{-2;-1;0;1\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $(-2)+(-1)+0+1=-2$.