Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình sau có nghiệm thực:
$\ln \left(\frac{{\sin }^{3}x+4}{-3\sin x+4+m}\right)+{\sin }^{3}x+3\sin x-m=0$?

Phương trình tương đương:
$\ln ({\sin }^{3}x+4)-\ln (-3\sin x+4+m)+({\sin }^{3}x+4)-(-3\sin x+4+m)=0$
$\iff \ln ({\sin }^{3}x+4)+({\sin }^{3}x+4)=\ln (-3\sin x+4+m)+(-3\sin x+4+m)$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t+t$ với $t>0$ có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra:
${\sin }^{3}x+4=-3\sin x+4+m\iff m={\sin }^{3}x+3\sin x$.
Đặt $u=\sin x\in [-1;1]$, ta được $m=g(u)=u^3+3u$.
Vì $g^{\prime }(u)=3u^2+3>0$ nên hàm số $g(u)$ đồng biến trên $[-1;1]$.
Do đó $g(-1)\le m\le g(1)\iff -4\le m\le 4$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4\}$. Có 4 giá trị nguyên dương của $m$.