Cho $z,w\in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|\bar{z}+3+2i|=\sqrt{5},|w+5+6i|=2\sqrt{5}$. Biết $|z+w|$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $z=a+bi,w=c+di$, với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Tính $T=ac+bd+a^2+b^2$.

Lấy liên hợp của đẳng thức đầu: $|z+3-2i|=\sqrt{5}$.
Đặt $u=-w$, khi đó $|-u+5+6i|=2\sqrt{5}\iff |u-(5+6i)|=2\sqrt{5}$.
Khi đó $|z+w|=|z-u|$ là khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn số phức $z$ và $u$.
Điểm $M(z)$ nằm trên đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-3;2)$, bán kính $R_1=\sqrt{5}$.
Điểm $N(u)$ nằm trên đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(5;6)$, bán kính $R_2=2\sqrt{5}$.
Ta có $\overrightarrow{I_1{I}_2}=(8;4)⟹I_1{I}_2=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.
Vì $I_1{I}_2>R_1+R_2=3\sqrt{5}$ nên hai đường tròn ngoài nhau.
Khoảng cách $|z-u|$ nhỏ nhất khi $M,N$ nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm $I_1{I}_2$.
Tính tọa độ điểm $z$ và $w$ tại điểm đạt cực trị ta được giá trị $T=ac+bd+a^2+b^2=-1$.