Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ khi $(z+1)(\bar{z}-i)$ là một số thuần ảo?

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có:
$(z+1)(\bar{z}-i)=(x+1+yi)\left(x-(y+1)i\right)=x(x+1)+y(y+1)-(x+y+1)i.$
Để số phức trên là số thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức là:
$x^2+y^2+x+y=0\iff {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$, bán kính $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$.