Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=2$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 2)$ là một phần tư hình tròn bán kính bằng $\sqrt{2}{x}^2$.

Khi thi công tuyến cao tốc Nghi Sơn - Bãi Vọt, đơn vị thi công cần san một ngọn núi nhỏ. Biết đường viền chân núi là một elip có trục lớn $AB=400\text{ m}$ và trục bé $CD=200\text{ m}$; mặt cắt bởi mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với mặt đất là nửa hình tròn đường kính $AB$; mặt cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với $AB$ có dạng parabol với đỉnh thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích ngọn núi đó theo đơn vị triệu ${\text{m}}^3$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài $5\text{ (cm)}$; khi cắt hình này bởi mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x\text{ (cm)}$, với $x\text{ (cm)}$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Tính thể tích (theo đơn vị ${\text{cm}}^3$) không gian bên trong đường hầm mô hình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2 m, độ dài trục bé bằng 1 m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5 m. Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0,75 m. Tính thể tích $V$ của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích $V$ của vật thể đó là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=-1$ và $x=4$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 4$) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $x$ và $2x+1$.

Câu 6. Một quả khế được mô hình hóa cân đối, có chiều dài $18\text{ cm}$. Mỗi thiết diện vuông góc với chiều dài quả khế là một hình sao $5$ cánh cân đối: gồm $5$ đỉnh nhọn cách đều quanh tâm và $5$ rãnh xen kẽ, cũng cách đều quanh tâm. Trên mỗi thiết diện, gọi $A_n$ là một đỉnh nhọn và $B_n$ là rãnh đối diện với đỉnh nhọn đó. Quan sát mặt cắt dọc (chứa trục quả khế) đi qua các điểm $A_n$ và $B_n$: parabol giới hạn cánh quả khế, tức tập hợp các điểm $A_n$, có bề rộng (chiều dài quả khế) gấp $5$ lần chiều cao (khoảng cách từ đỉnh parabol đến trục quả khế); parabol giới hạn rãnh quả khế, tức tập hợp các điểm $B_n$, có bề rộng gấp $8$ lần chiều cao. Hai parabol này cùng đi qua hai đầu quả khế. Tính thể tích quả khế theo mô hình trên. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ${\text{cm}}^3$.