Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z - 2 - i = 5; z + 2 + mi = z - m + i , ( m $\in$ ) . Giá trị nhỏ
nhất của P = z1 - z2 thuộc đoạn nào sau đây?

I
A
K
d
B
Đặt z = x + yi, ( x, y $\in$ ) . Khi đó:
z - 2 - i = 5 $\iff$ ( x - 2 ) + ( y - 1) = 25
2 2

z + 2 + mi = z - m + i $\iff$ ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0

$\Rightarrow$ z1 , z2 vừa thuộc đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 5 vừa thuộc đường thẳng d
có phương trình ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0 (ở đây, d không đi qua tâm I mà luôn đi qua
1 1
điểm K - ; cố định) và giả sử d cắt ( C ) tại hai điểm A, B .
2 2
Do đó, P = z1 - z2 = AB . Vậy P có giá trị nhỏ nhất khi d \perp IK . Khi đó,

AB = 2 KB = 2 R 2 - IK 2 = 74 $\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của P = z1 - z2 thuộc đoạn [8;9] .