Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $2a$. Tính thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho mặt cầu S ( O;9 ) . Một hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu S. khi thể tích
của hình nón lớn nhất, diện tích đường tròn đáy của hình nón thuộc khoảng nào dưới đấy?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đoạn $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{R}$. Tính $S=b+c+d$.

Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=a$. Đáy $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ có bán kính bằng $2a$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$, bán kính bằng $5$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Xét khối nón $(N)$ nhận đường tròn $(C)$ làm đáy, chiều cao $h$ ($h>5$) và đỉnh là điểm thuộc mặt cầu $(S)$. Khối nón $(N)$ có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $144\pi {\text{ dm}}^3$. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên):


Thể tích $V$ của nước còn lại trong bình bằng

Cho khối nón $(N)$ có thiết diện qua trục là tam giác đều. Một khối cầu $(S)$ đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của khối nón. Tỷ số thể tích của khối cầu và thể tích khối nón là