Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại đúng $1$ số nguyên dương $b$ thỏa mãn
${\log }_2\left(1+\frac{a}{8}+\frac{b}{4}\right)={\log }_3\left(1+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}\right)$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số $m$ sao cho phương trình ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}=x^2-5x-m+2$ có nghiệm?

Tính tổng $T$ của các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $e^x+(m^2-m)e^{-x}=2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\frac{1}{\log e}$.

Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\ln [m+2\sin x+\ln (m+3\sin x)]=\sin x$ có nghiệm thực?

Cho phương trình ${\log }_3^2(3x)+{\log }_{3}x+m-1=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;1)$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số thực dương ( x; y ) thỏa mãn
xy - 1
= 2 x -2 xy + y +1 và phương trình log3 ( 2 ( xy - 1) - y ) - 2m log 3 x + 2m - m = 0 có nghiệm
2 1
đẳng thức 2 2

x +y
2
4

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ nhỏ hơn 2022 để phương trình ${\log }_3(m+\sqrt{m+3^x})=2x$ có nghiệm thực?