Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ nhỏ hơn 2022 để phương trình ${\log }_3(m+\sqrt{m+3^x})=2x$ có nghiệm thực?

Phương trình tương đương: $m+\sqrt{m+3^x}=3^{2x}=(3^x{)}^2$. Đặt $u=\sqrt{m+3^x}>0\Rightarrow u^2-3^x=m$. Thay vào phương trình: $(u^2-3^x)+u=(3^x{)}^2\iff u^2+u=(3^x{)}^2+3^x$. Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^2+t$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, suy ra $u=3^x\iff \sqrt{m+3^x}=3^x\iff m+3^x=3^{2x}\iff (3^x{)}^2-3^x-m=0$. Đặt $v=3^x>0$, phương trình trở thành $v^2-v-m=0\iff m=v^2-v$. Vì $v>0$, hàm số $g(v)=v^2-v$ đạt giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{4}$ tại $v=\frac{1}{2}$ và nhận mọi giá trị $m\ge -\frac{1}{4}$. Vì $m$ là số nguyên dương nhỏ hơn 2022, suy ra $m\in \{1,2,\dots ,2021\}$. Số giá trị nguyên dương là 2021. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.