Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m\in [-1;1]$ sao cho phương trình ${\log }_{m^2+1}(x^2+y^2)={\log }_2(2x+2y-2)$ có nghiệm nguyên $(x;y)$ duy nhất?

Điều kiện: $x^2+y^2>0$ và $2x+2y-2>0⟺x+y-1>0$.
Nhận xét: Vì $x,y$ có vai trò đối xứng như nhau nên nếu phương trình có nghiệm nguyên $(x_0;y_0)$ thì $(y_0;x_0)$ cũng là một nghiệm của phương trình.
Do đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là $x_0=y_0$.
Thay vào phương trình ta được:
${\log }_{m^2+1}(2x_0^2)={\log }_2(4x_0-2)$.
Vì $x_0$ nguyên và $2x_0-1>0⟹x_0\ge 1⟹4x_0-2>1$.
Lại có $2x_0^2\ge 4x_0-2⟺2(x_0-1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng).
Từ đó suy ra ${\log }_2(4x_0-2)={\log }_{m^2+1}(2x_0^2)\ge {\log }_{m^2+1}(4x_0-2)$
$⟹{\log }_{4x_0-2}(m^2+1)\ge {\log }_{4x_0-2}2⟹m^2+1\ge 2⟹m^2\ge 1$.
Mà $m\in [-1;1]$ nên $m=\pm 1$.
Điều kiện đủ:
Với $m=\pm 1⟹m^2+1=2$, phương trình trở thành:
${\log }_2(x^2+y^2)={\log }_2(2x+2y-2)⟺x^2+y^2=2x+2y-2⟺(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=0⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$.
Suy ra với $m=\pm 1$, phương trình có nghiệm nguyên duy nhất là $(1;1)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có đúng 2 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=1$ và $m=-1$.