Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in (-2019;2020)$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: $\{\begin{array}{l}4+9\cdot 3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y})\cdot 7^{2y-x^2+2}\\ 2x-1=\sqrt{2y-2x+m}\end{array}$?

Chọn A.
Đặt $t=x^2-2y$. Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
$4+9\cdot 3^t=(4+9^t)\cdot 7^{2-t}⟺\frac{4+9\cdot 3^t}{7^2}=\frac{4+(3^t{)}^2}{7^t}⟺\frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}$ (hoặc xét tính đơn điệu của hàm đặc trưng).
Xét hàm số $g(u)=(4+3^u)\cdot 7^{-u}$, ta có phương trình có nghiệm duy nhất $t=2$.
Suy ra $x^2-2y=2⟺2y=x^2-2$.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
$2x-1=\sqrt{x^2-2-2x+m}⟺\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ (2x-1{)}^2=x^2-2x-2+m\end{array}$
$⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 4x^2-4x+1=x^2-2x-2+m\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 3x^2-2x+3=m\end{array}$.
Xét hàm số $h(x)=3x^2-2x+3$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$.
Ta có $h^{\prime }(x)=6x-2=0⟺x=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$.
Do đó trên $[\frac{1}{2};+\infty )$, hàm số $h(x)$ đồng biến, suy ra $h(x)\ge h(1/2)=3(\frac{1}{4})-2(\frac{1}{2})+3=\frac{3}{4}-1+3=\frac{11}{4}=2,75$.
Để hệ phương trình có nghiệm thì $m\ge \frac{11}{4}=2,75$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m\in (-2019;2020)$, ta có:
$3\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2019-3+1=2017$.