Cho phương trình $(4+\sqrt{15}{)}^x+(2m+1)(4-\sqrt{15}{)}^x-6=0$. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1-2x_2=0$ thì giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào?

Nhận xét rằng $(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=16-15=1$.
Đặt $t=(4+\sqrt{15}{)}^x>0⟹(4-\sqrt{15}{)}^x=\frac{1}{t}$.
Phương trình đã cho trở thành:
$t+\frac{2m+1}{t}-6=0⟺t^2-6t+2m+1=0(\ast )$
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì phương trình $(\ast )$ phải có 2 nghiệm phân biệt dương $t_1,t_2>0$:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=9-(2m+1)=8-2m>0\\ S=6>0\\ P=2m+1>0\end{array}⟺-\frac{1}{2}<m<4$
Ta có $t_1=(4+\sqrt{15}{)}^{x_1}$ và $t_2=(4+\sqrt{15}{)}^{x_2}$.
Từ điều kiện $x_1-2x_2=0⟺x_1=2x_2$, ta suy ra:
$t_1=(4+\sqrt{15}{)}^{2x_2}={\left[(4+\sqrt{15}{)}^{x_2}\right]}^2=t_2^2$
Theo định lý Vi-ét:
$t_1+t_2=6⟺t_2^2+t_2-6=0⟺(t_2-2)(t_2+3)=0$
Vì $t_2>0$ nên $t_2=2⟹t_1=2^2=4$.
Khi đó:
$P=t_1{t}_2=4\cdot 2=8⟺2m+1=8⟺2m=7⟺m=\frac{7}{2}=3,5$
Kiểm tra điều kiện $m=3,5\in \left(-\frac{1}{2};4\right)$ thỏa mãn.
Giá trị $m=3,5$ thuộc khoảng $(3;5)$. Chọn A.