Số nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$ của phương trình ${\sin }^4\frac{x}{2}+{\cos }^4\frac{x}{2}=1-2\sin x$ là

Ta biến đổi vế trái:
${\sin }^4\frac{x}{2}+{\cos }^4\frac{x}{2}={\left({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}\right)}^2-2{\sin }^2\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x$
Phương trình đã cho trở thành:
$1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}x=1-2\sin x⟺\frac{1}{2}{\sin }^{2}x-2\sin x=0⟺\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x-2\right)=0$
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\frac{1}{2}\sin x-2\le \frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}<0$.
Do đó phương trình tương đương với:
$\sin x=0⟺x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
Nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$ khi và chỉ khi:
$0<k\pi <2019⟺0<k<\frac{2019}{\pi }\approx 642,667$
Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{1,2,\dots ,642\}$.
Vậy phương trình có đúng 642 nghiệm thuộc khoảng $(0;2019)$. Chọn A.