Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$.

Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $AB\subset (AB{C}^{\prime })$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (AB{C}^{\prime })$.
Do đó:
$d(A^{\prime }{B}^{\prime },B{C}^{\prime })=d(A^{\prime }{B}^{\prime },(AB{C}^{\prime }))=d(A^{\prime },(AB{C}^{\prime }))$
Ta tính khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến $(AB{C}^{\prime })$ qua thể tích tứ diện $A^{\prime }.AB{C}^{\prime }$:
- Ta có $V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}=V_{C^{\prime }.A^{\prime }AB}$. Vì $C^{\prime }C\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $C$ đến $AB$ trong tam giác đều $ABC$, tức là $h_C=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- Diện tích hình chữ nhật $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là $a^2$, nên diện tích tam giác $A^{\prime }AB$ là $S_{A^{\prime }AB}=\frac{1}{2}{a}^2$.
- Suy ra thể tích:
$V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
- Mặt khác, tam giác $AB{C}^{\prime }$ có $AB=a$, $A{C}^{\prime }=B{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Tam giác $AB{C}^{\prime }$ cân tại $C^{\prime }$, đường cao từ $C^{\prime }$ xuống $AB$ là:
$h_{C^{\prime }}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$
Diện tích tam giác $AB{C}^{\prime }$ là:
$S_{AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$
Vậy khoảng cách cần tìm là:
$d(A^{\prime },(AB{C}^{\prime }))=\frac{3V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }}}{S_{AB{C}^{\prime }}}=\frac{3\cdot \frac{a^3\sqrt{3}}{12}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}$
Chọn C.