Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z=0$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ điểm $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(1;0;-1)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(2;1;3)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(2;1;-1)$.
Vì mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và $(Q)\perp (P)$ nên VTPT ${\vec{n}}_Q$ của $(Q)$ cùng phương với tích có hướng $[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]$:
$[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=(1(-1)-3(1);3(2)-2(-1);2(1)-1(2))=(-4;8;0)=-4(1;-2;0)$
Chọn ${\vec{n}}_Q=(1;-2;0)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M(1;0;-1)$ có VTPT ${\vec{n}}_Q$ là:
$1(x-1)-2(y-0)+0(z+1)=0⟺x-2y-1=0$
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(Q)$ là:
$d(O,(Q))=\frac{|0-2(0)-1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Chọn C.