Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình sau:



Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình
$2f(\sin x-2)-\frac{2{\sin }^{3}x}{3}+\frac{5\cos 2x}{4}+\sin x>m+\frac{19}{12}$
nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Đặt $t=\sin x-2$. Với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)⟹\sin x\in (-1;1)⟹t\in (-3;-1)$.
Ta có: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.
Biến đổi biểu thức lượng giác theo $u=\sin x=t+2$:
$g(t)=2f(t)-h(t)$.
Sử dụng đồ thị $f^{\prime }(x)$ trên khoảng $(-3;-1)$, ta khảo sát hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất của vế trái trên đoạn $[-3;-1]$.
Tại $t=-1$ (ứng với $\sin x=1$ khi $x\to \frac{\pi }{2}$), hàm số đạt cực tiểu / giá trị nhỏ nhất.
Do $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng mở nên bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi:
$m\le {\min }_{[-3;-1]}g(t)=2f(-1)+\frac{19}{12}$.