Cho hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{a{x}^2+1}}$ có đồ thị $(C)$. Tìm giá trị của $a$ để đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 0 một khoảng bằng $\sqrt{2}-1$.

Điều kiện để đồ thị có tiệm cận ngang là $a>0$.
Khi đó:
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{\sqrt{a{x}^2+1}}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{a+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$.
Tiệm cận ngang là đường thẳng $\Delta :y=\frac{1}{\sqrt{a}}⟺y-\frac{1}{\sqrt{a}}=0$.
Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=0$:
$y(0)=1$.
$y^{\prime }=\frac{\sqrt{a{x}^2+1}-(x+1)\cdot \frac{ax}{\sqrt{a{x}^2+1}}}{a{x}^2+1}=\frac{a{x}^2+1-a{x}^2-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}=\frac{1-ax}{(a{x}^2+1)\sqrt{a{x}^2+1}}$.
Tại $x_0=0⟹y^{\prime }(0)=1$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(0;1)$ là $d:y=1(x-0)+1⟺x-y+1=0$.
Khoảng cách từ điểm $M(0;\frac{1}{\sqrt{a}})\in \Delta$ đến tiếp tuyến $d$ là:
$d(\Delta ,d)$ không song song nếu $\Delta$ ngang và $d$ nghiêng góc $45^{\circ }$, khoảng cách giữa hai đường là khoảng cách từ giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận hoặc khoảng cách giữa đường tiệm cận ngang với tiếp tuyến tại điểm nằm trên trục tung:
$|y_{\text{tiệm cận}}-y(0)|=\left|\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right|$.
Để khoảng cách này bằng $\sqrt{2}-1$ theo phương thẳng đứng hoặc theo bài toán:
$\frac{1}{\sqrt{a}}-1=\sqrt{2}-1⟹\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}⟹a=\frac{1}{2}$ hoặc với $a=1$:
Khi $a=1$, tiệm cận ngang là $y=1$, tiếp tuyến là $y=x+1$ đi qua $(0;1)$, khoảng cách từ gốc tới hoặc theo công thức đề: $a=1$ thỏa mãn.