Cho hàm số đa thức $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $f(0)=0$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình sau:



Hàm số $g(x)=4f(x)+x^2$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ta có: $g^{\prime }(x)=4f^{\prime }(x)+2x=4\left[f^{\prime }(x)-\left(-\frac{x}{2}\right)\right]$.
Hàm số $g(x)$ đồng biến khi $g^{\prime }(x)\ge 0⟺f^{\prime }(x)\ge -\frac{x}{2}$.
Vẽ đường thẳng $d:y=-\frac{x}{2}$ trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị $y=f^{\prime }(x)$.
Đường thẳng đi qua các điểm $(0;0)$ và $(4;-2)$.
Trên khoảng $(0;4)$, đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên đường thẳng $d:y=-\frac{x}{2}$, do đó $f^{\prime }(x)>-\frac{x}{2}⟹g^{\prime }(x)>0$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;4)$.