Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $(AD\parallel BC)$, $AD=2a,AB=BC=CD=a$, các cạnh bên bằng nhau, góc giữa $SC$ và $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, ta có $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD$. Vì các cạnh bên bằng nhau nên $SH\perp (ABCD)$. Kẻ $CK\perp AD$ tại $K$, ta có $CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $CK\perp (SAD)$. Góc giữa $SC$ và $(SAD)$ là $\widehat{CSK}=30^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SKC$, $\sin 30^{\circ }=\frac{CK}{SC}\Rightarrow SC=2CK=a\sqrt{3}$. Ta có $CH=a\Rightarrow SH=\sqrt{S{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=\frac{(2a+a)}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{4}$. Chọn D.