Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(5;1;10),A(9;15;-6),B(-3;9;6)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z+27=0$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(\alpha )$ tại $C$. Đoạn thẳng $MC$ có độ dài lớn nhất bằng

Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-12;-6;12)=-6(2;1;-2)\parallel {\vec{n}}_{\alpha }$, nên $AB\perp (\alpha )$. Trung điểm của $AB$ là $E(3;12;0)$. Mặt phẳng trung trực $(\beta )$ của $AB$ song song với $(\alpha )$. Tâm $I$ của $(S)$ nằm trên $(\beta )$, do đó bán kính $R=IC=d(E,(\alpha ))=\frac{|2\cdot 3+12-0+27|}{3}=15$. Giao điểm của đường thẳng $AB$ với $(\alpha )$ là $H(-7;7;10)$. Bán kính đường tròn tiếp xúc là $r=HC=\sqrt{R^2-E{I}^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$. Hình chiếu vuông góc của $M(5;1;10)$ lên $(\alpha )$ là $K(1;-1;14)$. Khoảng cách $MK=6$ và $HK=12=r$, do đó $K$ nằm trên đường tròn tập hợp điểm $C$. Khi đó $MC=\sqrt{M{K}^2+K{C}^2}\le \sqrt{6^2+(2r{)}^2}=\sqrt{36+24^2}=6\sqrt{17}$. Chọn D.