Cho hàm số $f(x)=2x^3-9x^2+mx$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $m<2024$ để ${\max }_{[0;3]}f(x)=f(3)$?

Ta có ${\max }_{[0;3]}f(x)=f(3)\iff f(x)\le f(3)$ với mọi $x\in [0;3]\iff 2x^3-9x^2+mx\le 2\cdot 27-9\cdot 9+3m\iff 2x^3-9x^2+27\le m(3-x)$. Với $x=3$, bất đẳng thức luôn đúng. Với $x\in [0;3)$, chia cho $3-x>0$ ta được $m\ge \frac{2x^3-9x^2+27}{3-x}=-2x^2+3x+9$. Xét $h(x)=-2x^2+3x+9$ trên $[0;3)$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{3}{4}$ với $h\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{81}{8}=10,125$. Do đó $m\ge 10,125$. Kết hợp $m$ nguyên và $m<2024$, ta có $m\in \{11;12;\dots ;2023\}$, có $2023-11+1=2013$ số nguyên. Chọn A.