Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=0\\ u_{n+1}=2u_n+2,\forall n\ge 1\end{array}$. Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất để $u_n>1024$.

Ta có: $u_{n+1}+2=2(u_n+2)$.
Đặt $v_n=u_n+2$, ta có $v_1=u_1+2=2$ và $v_{n+1}=2v_n$.
Do đó $(v_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $v_1=2$ và công bội $q=2$.
Suy ra $v_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$.
Từ đó $u_n=v_n-2=2^n-2$.
Để $u_n>1024\iff 2^n-2>1024\iff 2^n>1026$.
Vì $2^{10}=1024$ và $2^{11}=2048$ nên số tự nhiên $n$ nhỏ nhất thỏa mãn là $n=11$.