Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $9^{x+\frac{1}{2}}-4m\cdot 3^x+m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=1$?

Phương trình viết lại: $3\cdot (3^x{)}^2-4m\cdot 3^x+m+2=0$.
Đặt $t=3^x$ ($t>0$), ta được phương trình bậc hai: $3t^2-4mt+m+2=0$ (1).
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=1$, thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2>0$ thỏa mãn:
$t_1{t}_2=3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=3^{x_1+x_2}=3^1=3$.
Theo định lý Vi-et: $t_1{t}_2=\frac{m+2}{3}=3⟺m+2=9⟺m=7$.
Thử lại với $m=7$:
Phương trình (1) trở thành: $3t^2-28t+9=0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(-14{)}^2-3\cdot 9=196-27=169>0$.
Nghiệm $t_1,t_2=\frac{14\pm 13}{3}⟹t_1=9,t_2=\frac{1}{3}$ (đều dương, thỏa mãn).
Vậy $m=7$.