Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z-2=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P):4x-z+3=0$. Vec-tơ nào dưới đây là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng $d$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$, $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$. Đường thẳng $(\Delta )$ song song với mặt phẳng $(P)$, cách $(P)$ một khoảng bằng $2\sqrt{3}$ đồng thời cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$. Biết điểm $A$ có hoành độ dương. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $x+y-z-2=0$. Tính cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}$ và mặt phẳng $(\alpha ):m^{2}x-3y-z+3m=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2;0;3),B(1;2;1),C(3;2;0)$ và $D(1;1;3)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+z-1=0$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ là